Retrouver une équation de droite à partir d'un vecteur normal - Exemple 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

On veut déterminer une équation cartésienne de la droite  \((d)\) parallèle à la droite d'équation cartésienne \(-5x + 2y - 11 = 0\)  passant par le point \(\text M(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3})\) . 

Les droites étant parallèles, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et un vecteur normal de l'une est aussi un vecteur normal de l'autre.

On lit directement sur l'équation cartésienne de la droite qu'un vecteur normal aux deux droites a pour coordonnées  \(\require{\asm}\vec{n}\begin{pmatrix} -5 \\ 2\end{pmatrix}\) , soit \(a = -5\) et \(b= 2\) .

Une équation cartésienne de la droite  \((d)\) est de la forme \(-5x +2 y + c = 0\) , avec \(c\)  un réel à déterminer.

La droite  \((d)\) passe par le point \(\text M\) : \(-5x_M+2 y_M + c = 0\) , c'est-à-dire \(-5 \times \dfrac{2}{3} +2 \times \dfrac{1}{3} + c = 0\) , soit \(\dfrac{-10}{3} +\dfrac{2}{3} + c = 0\) puis  \(\dfrac{-8}{3} + c = 0\) et \(c = \dfrac{8}{3}\) .

Une équation cartésienne de la droite  \((d)\) est \(-5x + 2 y + \dfrac{8}{3} = 0\) , ce qui est équivalent à \(-15x + 6y + 8 = 0\) .